संकल्पना टिपणे १: परिमिती, बंदिस्त आकृत्यांची सीमा आणि मूलभूत क्षेत्रफळ
प्रतलीय भूमितीमध्ये सीमांची अचूक लांबी मोजणे हा क्षेत्रफळाच्या अभ्यासाचा पाया आहे.
१. परिमितीची संकल्पना ($P$)
- व्याख्या: कोणत्याही बंदिस्त प्रतलीय आकृतीच्या सीमेची एकूण लांबी म्हणजे त्या आकृतीची परिमिती (Perimeter) होय.
- सामान्य बहुभुजाकृती: $n$ बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीची परिमिती:
$$P = \sum_{i=1}^n e_i = e_1 + e_2 + \dots + e_n$$
- आयात: लांबी $l$ आणि रुंदी $b$ असल्यास:
$$P = २(l + b)$$
- चौरस व समभुज चौकोन: बाजू $a$ असल्यास:
$$P = ४a$$
२. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढण्याची पारंपारिक सूत्रे
त्रिकोण $ABC$ मध्ये बाजूंची लांबी $a, b, c$ मानू.
- पाया आणि लंब उंची ज्ञात असताना:
$$\text{क्षेत्रफळ} = \frac{१}{२} \times \text{पाया} \times \text{उंची} = \frac{१}{२} b h$$
- काटकोन त्रिकोणात: काटकोन करणाऱ्या दोन बाजूच पाया व उंची म्हणून काम करतात:
$$\text{क्षेत्रफळ} = \frac{१}{२} \times \text{काटकोन करणारी पहिली बाजू} \times \text{काटकोन करणारी दुसरी बाजू}$$
- समभुज त्रिकोणात (Equilateral Triangle): प्रत्येक बाजू $a$ असल्यास, उंची $h = \frac{\sqrt{३}}{२}a$ असते:
$$\text{क्षेत्रफळ} = \frac{\sqrt{३}}{४} a^२$$
- समद्विभुज त्रिकोणात (Isosceles Triangle): समान बाजू $a, a$ आणि भिन्न पाया $b$ असल्यास:
$$h = \sqrt{a^२ - \left(\frac{b}{२}\right)^२} = \frac{१}{२}\sqrt{४a^२ - b^२} \implies \text{क्षेत्रफळ} = \frac{b}{४}\sqrt{४a^२ - b^२}$$
३. पारंपारिक सूत्राची मर्यादा
प्रत्यक्ष शेतजमिनीचे किंवा पर्वतीय भूप्रदेशाचे मोजमाप करताना त्रिकोणाची लंब उंची मोजणे अत्यंत कठीण किंवा अशक्य असते. केवळ तिन्ही बाजूंची लांबी मोजून क्षेत्रफळ काढण्यासाठी हेरॉनचे सूत्र अनिवार्य ठरते!