संकल्पना टिपणे १: अनुक्रम, अंकगणिती श्रेढी आणि सामान्य फरक
निसर्गात आणि गणितात विशिष्ट नियमाने मांडलेल्या संख्यांच्या मालिकेला अनुक्रम म्हणतात.
१. अनुक्रम (Sequence)
- संख्यांची अशी मांडणी जी एका विशिष्ट नियमानुसार क्रमाने केली जाते, तिला अनुक्रम म्हणतात.
- अनुक्रमातील संख्यांना पदे (Terms) म्हणतात, ज्यांना $t_१, t_२, t_३, \dots, t_n$ किंवा $a_१, a_२, a_३, \dots, a_n$ असे दर्शवले जाते.
२. अंकगणिती श्रेढी (Arithmetic Progression - AP)
- व्याख्या: असा अनुक्रम ज्यामध्ये कोणत्याही दोन लगतच्या पदांमधील फरक ($t_{k+१} - t_k$) नेहमी स्थिर असतो, त्याला अंकगणिती श्रेढी म्हणतात.
- सामान्य फरक (Common Difference $d$):
$$d = t_२ - t_१ = t_३ - t_२ = \dots = t_n - t_{n-१}$$
- $d$ चे स्वरूप:
- जर $d > ०$ असेल, तर श्रेढी चढती (उदा. ३, ७, ११, १५... येथे $d = ४$).
- जर $d < ०$ असेल, तर श्रेढी उतरती (उदा. ५०, ४५, ४०, ३५... येथे $d = -५$).
- जर $d = ०$ असेल, तर श्रेढी स्थिर असते (उदा. ७, ७, ७, ७... येथे $d = ०$).
३. अंकगणिती श्रेढीचे सामान्य रूप (General Form)
जर पहिले पद $a$ आणि सामान्य फरक $d$ असेल:
$$\mathbf{a, a + d, a + २d, a + ३d, a + ४d, \dots}$$