संकल्पना टिपणे १: गणिती विधाने, सशर्त विधाने आणि पक्ष-साध्य
तर्कशास्त्र (Logic) ही गणिताची पायाभूत भाषा आहे. अचूक विधानांवरूनच प्रमेये निर्माण होतात.
१. गणिती विधान (Mathematical Statement / Proposition)
- व्याख्या: असे अर्थपूर्ण वाक्य ज्याचे मूल्य एकतर निश्चितपणे सत्य (True, $T$) किंवा निश्चितपणे असत्य (False, $F$) असते, त्याला गणिती विधान म्हणतात.
- असमाविष्ट वाक्ये: प्रश्नार्थी वाक्ये, उद्गारार्थी वाक्ये, आज्ञार्थी वाक्ये किंवा व्यक्तीसापेक्ष विधाने ही गणिती विधाने नसतात.
- उदा. "दरवाजा बंद कर!" (आज्ञा - विधान नाही).
- उदा. "गणित हा सोपा विषय आहे." (मत - विधान नाही).
- उदा. "$x + ५ = ९$" (खुले वाक्य, $x$ चे मूल्य माहित नसल्याने विधान नाही; परंतु "जर $x = ४$, तर $x + ५ = ९$" हे सत्य विधान आहे).
२. सशर्त विधाने (Conditional Statements: जर... तर...)
बहुतांश भौमितिक आणि बीजगणितीय विधाने सशर्त स्वरूपात असतात:
$$\mathbf{p \implies q \quad (\text{जर } p, \text{ तर } q)}$$
- पक्ष (Hypothesis / Antecedent $p$): विधानाची दिलेली पूर्वअट.
- साध्य (Conclusion / Consequent $q$): पूर्वअटीवरून निघणारा तर्कशुद्ध निष्कर्ष.
३. उदाहरणे
| सशर्त विधान | पक्ष ($p$) | साध्य ($q$) | सत्यता मूल्य |
|---|---|---|---|
| जर त्रिकोण समभुज असेल, तर त्याचे तिन्ही कोन ६०° असतात. | त्रिकोण समभुज आहे. | त्याचे तिन्ही कोन ६०° आहेत. | सत्य ($T$) |
| जर संख्या १० ने विभाज्य असेल, तर तिच्या एककस्थानी ० असतो. | संख्या १० ने विभाज्य आहे. | एककस्थानी ० आहे. | सत्य ($T$) |
| जर दोन रेषा समांतर असतील, तर त्या एकमेकांना छेदत नाहीत. | दोन रेषा समांतर आहेत. | त्या एकमेकांना छेदत नाहीत. | सत्य ($T$) |