संकल्पना टिपणे १: प्रमाणरूप ($ax + by + c = ०$) आणि अनंत उकल संच
दोन अज्ञात चलांमधील संबंध दर्शवणारे प्रथम घाताचे समीकरण.
१. रेषीय समीकरणाचे प्रमाणरूप (Standard Form)
दोन चले $x$ आणि $y$ मधील रेषीय समीकरण खालीलप्रमाणे मांडले जाते:
$$\mathbf{ax + by + c = ०}$$
- $a, b, c \in \mathbb{R}$ (वास्तव संख्या सहगुणक).
- अट: $a$ आणि $b$ एकाच वेळी शून्य असू शकत नाहीत ($a^२ + b^२ \ne ०$).
२. उकल म्हणजे काय? (Solution as an Ordered Pair)
- क्रमित जोडी $(x_०, y_०)$ ही समीकरणाची उकल असते जर $a(x_०) + b(y_०) + c = ०$ हे विधान सत्य ठरत असेल.
- प्रमेय: दोन चलांतील एका रेषीय समीकरणाला अनंत उकली (Infinitely many solutions) असतात.
- $x$ च्या प्रत्येक वास्तव मूल्यासाठी $y$ चे एक निश्चित मूल्य मिळते:
$$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \quad (b \ne ०)$$
३. सोडवलेले उदाहरण: ४ वेगवेगळ्या उकली शोधणे
समीकरण: $२x + y = ७ \implies y = ७ - २x$. १) जर $x = ० \implies y = ७ - २(०) = ७ \implies (०, ७)$ २) जर $x = १ \implies y = ७ - २(१) = ५ \implies (१, ५)$ ३) जर $x = २ \implies y = ७ - २(२) = ३ \implies (२, ३)$ ४) जर $x = ३ \implies y = ७ - २(३) = १ \implies (३, १)$