पायरी २: अंतर सूत्राची व्युत्पत्ती, एकरेषीयता व भौमितिक आकृत्या
कार्टेशियन प्रतलावर बिंदूंचे स्थान निश्चित केल्यानंतर सर्वात मूलभूत प्रश्न येतो: दोन बिंदूंमधील अंतर कसे मोजावे?
? दृश्य संकल्पना आकृती: पायथागोरस प्रमेयावरून अंतर सूत्राची निर्मिती
१. अंतर सूत्र (Distance Formula)
प्रतलावरील कोणतेही दोन बिंदू $P(x_1, y_1)$ आणि $Q(x_2, y_2)$ यांच्यातील अंतर:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
? विशेष नियम: - वर्ग नेहमी धन असल्याने $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$ असतो. त्यामुळे वजाबाकीचा क्रम बदलला तरी उत्तरात फरक पडत नाही. - आरंभबिंदूपासून ($O(0, 0)$) अंतर:
$$OP = \sqrt{x^2 + y^2}$$
२. एकरेषीय बिंदूंची अट (Collinearity Condition)
तीन बिंदू $A, B, C$ एकाच सरळ रेषेत आहेत की नाहीत हे ठरवण्यासाठी:
- $AB, BC$ आणि $AC$ ही तिन्ही अंतरे काढा.
- जर कोणत्याही दोन लहान अंतरांची बेरीज ही तिसऱ्या सर्वात मोठ्या अंतराइतकी असेल:
$$AB + BC = AC$$
तर ते तीन बिंदू एकरेषीय (Collinear) असतात.
३. भौमितिक आकृत्यांची पडताळणी
| आकृती | अंतरांच्या आधारे पडताळणीची अट |
|---|---|
| समभुज त्रिकोण | तिन्ही बाजू समान: $AB = BC = CA$ |
| समद्विभुज त्रिकोण | कोणत्याही दोन बाजू समान: $AB = AC$ |
| काटकोन त्रिकोण | पायथागोरस सिद्ध होतो: $AB^2 + BC^2 = AC^2$ |
| समांतरभुज चौकोन | समोरासमोरील बाजू समान, परंतु कर्ण असमान ($AC \neq BD$) |
| आयत | समोरासमोरील बाजू समान आणि दोन्ही कर्ण समान ($AC = BD$) |
| समभुज चौकोन | चारही बाजू समान, परंतु कर्ण असमान ($AC \neq BD$) |
| चौरस | चारही बाजू समान आणि दोन्ही कर्णही समान ($AC = BD$) |
